Эффективность IOSO при решении стохастических задач
Эффективность IOSO в условиях стохастической оптимизации Реальные инженерные расчёты редко бывают абсолютно точными. Погрешности численного интегрирования, упрощения физических моделей, производственные допуски — всё это вносит случайный шум в результаты вычислений. Метод оптимизации, неспособный работать в условиях такого шума, даёт на практике решения худшего качества, чем обещает теория. Именно поэтому одним из ключевых критериев оценки алгоритма IOSO является его устойчивость к стохастическим возмущениям. Методика сравнительного анализа методов оптимизации Объективное сравнение алгоритмов оптимизации — нетривиальная задача. Простое сопоставление финальных значений целевой функции не учитывает ни сложность задачи, ни число переменных, ни затраченные вычислительные ресурсы. Для корректного сравнения необходима единая метрика, принимающая во внимание все эти факторы одновременно. Метрика эффективности В наших исследованиях применяется следующая система оценки, основные тезисы которой были предложены Олегом Головиновым. Шаг 1. Вычисление текущей ошибки: Error = (CurrObj − BestObj) / |BestObj| + Penalty где CurrObj — текущее значение целевой функции, BestObj — наилучшее известное решение, Penalty — штраф за нарушение ограничений. Шаг 2. Вычисление показателя эффективности Score: Score = (10·Nx + 5·Nineq + 10·Neq) · √[log(Error0 / Error1)] / Ncalls где: Nx — число проектных переменных; Nineq — число ограничений-неравенств; Neq — число ограничений-равенств; Error0 — начальная ошибка; Error1 — финальная ошибка (нулевые значения заменяются на 1×10⁻¹⁶); Ncalls — число обращений к математической модели. Показатель Score учитывает одновременно сложность задачи (через число переменных и ограничений), достигнутое улучшение (через отношение начальной и финальной ошибок) и вычислительную стоимость (через число обращений к модели). Показатели Score по всем тестовым задачам суммируются для каждого алгоритма и нормируются по наибольшей суммарной оценке. Шаг 3. Вычисление сравнительного показателя CompScore: CompScore = Score + K / R где: K = 1 — если задача решена успешно; K = 0 — если алгоритм не справился с задачей (не удалось снизить Error ниже 1×10⁻²); R — рейтинг алгоритма по показателю Score для данной задачи. Введение компоненты K/R принципиально важно: оно штрафует алгоритмы, которые показывают высокий Score на лёгких задачах, но систематически «отказывают» на сложных. Роль начальной точки Особое место в сравнительном анализе занимает выбор начальной точки поиска. Большинство классических алгоритмов оптимизации требуют задания начального приближения — и качество финального решения существенно зависит от того, насколько удачно оно выбрано. Алгоритмы IOSO относятся к числу методов, не требующих начальной точки. На старте поиска они исходят из принципа: «Я знаю, что ничего не знаю об исследуемом объекте» — и самостоятельно исследуют пространство поиска без каких-либо предположений о расположении оптимума. На практике начальное решение обычно известно из инженерного опыта. Однако существует целый класс реальных задач, для которых ни начальная точка, ни какая-либо предварительная информация об объекте недоступны. Именно в таких ситуациях способность IOSO работать «с чистого листа» становится критическим преимуществом перед градиентными методами. Методология сравнительного тестирования Для объективной оценки было проведено сравнительное тестирование на наборе тестовых функций из коллекции Эрика Сандгрена — классического эталонного набора задач условной нелинейной оптимизации, широко используемого в академической литературе. Стохастичность моделировалась путём наложения мультипликативной помехи, распределённой по нормальному закону: Y_sto = Y_ini × (1 + N(0, s)) где s — уровень помехи, N(0, s) — нормально распределённая случайная величина с нулевым математическим ожиданием и стандартным отклонением s. В сравнении участвовали четыре метода условной оптимизации: Метод Описание IOSO Метод косвенной оптимизации на основе самоорганизации (версия IOSO NS 1.0) MFD Модифицированный метод допустимых направлений SQP Метод последовательного квадратичного программирования SLP Метод последовательного линейного программирования Почему стохастическое тестирование важно Методы MFD, SQP и SLP относятся к классу градиентных методов оптимизации. Их общая черта — использование информации о производных целевой функции для определения направления поиска. В детерминированных задачах эти методы демонстрируют высокую скорость сходимости. Однако в условиях случайного шума градиент функции становится ненадёжным ориентиром: помеха искажает оценку производной, и алгоритм либо сходится к ложному локальному минимуму, либо вовсе теряет направление поиска. IOSO принципиально не использует градиентную информацию. Поиск ведётся через построение и последовательное уточнение поверхностей отклика — аппроксимирующих функций, которые по своей природе сглаживают случайные возмущения и позволяют выделить истинную тенденцию поведения целевой функции на фоне шума. Результаты Сравнительное тестирование подтвердило устойчивое преимущество IOSO перед градиентными методами при решении стохастических задач оптимизации. По мере роста уровня помехи s эффективность методов MFD, SQP и SLP заметно снижается — алгоритмы теряют способность надёжно находить оптимум. IOSO сохраняет работоспособность и качество решения при значительно более высоких уровнях стохастических возмущений. Это делает технологию IOSO особенно ценной в задачах, где: расчётная модель содержит численный шум, неизбежный при решении дифференциальных уравнений в сложных геометриях; результаты моделирования чувствительны к начальным условиям или параметрам сетки; целевая функция вычисляется с ограниченной точностью из-за упрощений физической модели; необходима оптимизация непосредственно в стохастической постановке с оценкой вероятностных критериев на каждой итерации.
Многодисциплинарная оптимизация: все дисциплины в едином процессе
Реальные инженерные системы редко поддаются оптимизации в рамках одной дисциплины. Авиационный компрессор — это одновременно задача аэродинамики, прочности, термодинамики и управления. Оптимизировать каждую дисциплину по отдельности и затем «собрать» результат — значит заведомо получить неоптимальное решение, поскольку дисциплины взаимозависимы. Концепция многодисциплинарной оптимизации (MDO) в IOSO объединяет все три ранее описанные технологии — многокритериальную, многоуровневую и параллельную оптимизацию — в единый вычислительный процесс. Исследуемая система рассматривается как многослойная структура, каждый слой которой соответствует отдельной инженерной дисциплине. Внутри каждой дисциплины может использоваться любой расчётный инструмент — от простейших аналитических моделей до экспериментальных образцов. Связующим звеном между дисциплинами служат поверхности отклика: они позволяют передавать информацию между уровнями моделирования и дисциплинами без необходимости жёсткой интеграции расчётных кодов. Адаптивное переключение между глобальными и локальными аппроксимациями обеспечивает высокое качество приближения при минимальном числе обращений к дорогостоящим моделям. Пример: оптимизация управляемого осевого компрессора Задача проектирования компрессора включает два принципиально разных типа переменных: конструктивные — геометрические параметры, не меняющиеся при смене режима работы, — и управляющие, которые могут целенаправленно изменяться в зависимости от режима. Наличие управляющих переменных превращает задачу проектирования в задачу оптимального управления. IOSO позволяет решать все три уровня этой задачи: Оптимальное проектирование — определение конструктивных параметров, оптимальных для расчётного режима работы; Оптимальное управление — нахождение наилучших законов управления для фиксированной геометрии на всех режимах; Совместная оптимизация проекта и управления — одновременное определение конструктивных параметров и законов управления для всего диапазона режимов. Исходный проект Оптимальное проектирование неуправляемого компрессора Оптимальное управление при фиксированной геометрии на основе результатов оптимального проектирования неуправляемого компрессора Оптимальное проектирование управляемого компрессора Именно третья постановка даёт наибольший прирост эффективности: она учитывает взаимозависимость между геометрией компрессора и его управляемостью — то, что недостижимо при последовательном решении первых двух задач по отдельности. Результаты показывают, что каждый переход к более полной постановке задачи — от исходного проекта к оптимальному неуправляемому, затем к оптимальному управляемому — даёт измеримый прирост КПД компрессора.
Технология поверхности отклика
В отличие от известных технологий поверхности отклика наши алгоритмы адаптированы к проведению оптимизационных исследований и позволяют с высокой точностью предсказывать направление движения к экстремуму. Мы можем аппроксимировать функции со сложной топологией (включая многоэкстремальные) при минимальном числе точек в плане эксперимента, в том числе и меньшим, чем размерность исходной функции. Так, например, мы начинаем решение задачи оптимизации со 140 варьирумыми переменными, имея всего 40 точек в плане эксперимента. При использовании IOSO технологии каждая итерация поиска экстремума состоит из 2-х этапов: построение поверхностей отклика целевой функции и ограничений; оптимизация поверхности отклика. При переходе от итерации к итерации используется процедуры изменения стратегии, которые осуществляют адаптацию параметров и структуры алгоритмов применительно к конкретной проблеме оптимизации. Для построения поверхности отклика используются различные высокоэффективные алгоритмы: адаптивные алгоритмы регрессионного анализа; эволюционные алгоритмы самоорганизации со структурно-параметрической аппроксимацией; алгоритмы нейронной сети. Адаптивные алгоритмы регрессионного анализа Класс адаптивных алгоритмов регрессионного анализа базируется на модифицированном методе наименьших квадратов. Данные алгоритмы позволяют адаптивно определять базис, параметры и структуру регрессора, которая обеспечивает наилучшие аппроксимационные свойства при минимальном количестве точек в плане экспериментов. Эти алгоритмы успешно используются для задач оптимизации малой и средней размерности. Некоторые примеры использования: Исходная функция Поверхность отклика Эволюционные алгоритмы самоорганизации Уникальные возможности эволюционных алгоритмов самоорганизации заключаются в возможности построения поверхностей отклика с высокими предсказательными свойствами для целевых функций большой размерности (сотни переменных) и со сложной топологией при минимально возможном числе точек в плане эксперимента (30…40). Эволюционные алгоритмы самоорганизации базируются на модификации Метода Группового Учета Аргументов. Схема процесса аппроксимации Пример структуры поверхности отклика Алгоритмы на основе моделирования искусственных нейронных сетей Отличительная особенность разработанных алгоритмов построения поверхностей отклика на основе моделирования искусственных нейронных сетей заключается в возможности с высокой точностью аппроксимировать функции со сложной топологией (многоэкстремальные, недифференцируемые и др.), обеспечивая хорошие экстраполяционные свойства. Использование этих алгоритмов при реализации многодисциплинарной, параллельной и многоуровневой стратегии оптимизации, а также оптимизации при наличии неопределенностей позволяет значительно (до двух порядков) снизить затраты при решении сложных практических проблем. В рамках IOSO технологии используются алгоритмы построения поверхностей отклика на базе двух типов искусственных нейронных сетей: многослойного персептрона (МСП) и сети типа радиальных базисных функций (РБФ). Некоторые примеры использования Тестовые функции Результаты нейронных сетей
Технология IOSO: принципы и возможности
Эволюционный подход к многокритериальной оптимизации сложных технических систем Большинство реальных инженерных задач не имеют единственного «правильного» ответа. Конструктор самолётного двигателя хочет одновременно повысить КПД и снизить расход топлива. Проектировщик системы охлаждения стремится минимизировать температуру процессора и габариты радиатора. Архитектор моста ищет баланс между минимальным весом конструкции и максимальной жёсткостью. Во всех этих случаях цели противоречат друг другу — и именно здесь традиционные методы оптимизации достигают своих пределов. Технология IOSO была разработана для решения именно таких задач. Как работает IOSO В основе технологии лежит оригинальный алгоритм построения и последовательного уточнения поверхностей отклика — математических аппроксимаций целевых функций и ограничений в текущей области поиска. Это принципиально отличает IOSO от классических методов нелинейного программирования. На каждой итерации алгоритм выполняет пять ключевых операций: Модификация плана эксперимента — накопленная информация о поведении системы систематизируется и дополняется; Адаптивное изменение области поиска — алгоритм сужает область вокруг перспективных решений по мере их обнаружения; Выбор типа поверхности отклика — глобальной или локальной — в зависимости от текущего этапа поиска; Уточнение поверхности отклика — качество аппроксимации повышается по мере накопления данных; Оптимизация по поверхности отклика с последующей верификацией через прямое обращение к расчётной модели. Ключевое следствие такой архитектуры: число обращений к тяжёлой расчётной модели сводится к минимуму. Это позволяет применять IOSO совместно с вычислительно дорогостоящими инструментами — трёхмерными CFD-кодами, конечно-элементными пакетами, многофизическими солверами — без многонедельного ожидания результатов. Схема итерации IOSO технологии Многокритериальная оптимизация и принцип Парето При наличии нескольких конкурирующих целей IOSO не сводит задачу к одному числу через весовые коэффициенты — подход, который неизбежно теряет информацию о компромиссах. Вместо этого алгоритм строит множество Парето-оптимальных решений: набор вариантов, каждый из которых не может быть улучшен по одному критерию без ухудшения другого. Результат — не одна точка, а полная карта компромиссов, из которой инженер или заказчик выбирает решение, наилучшим образом соответствующее реальным приоритетам проекта. При этом все точки множества Парето равно оптимальны с математической точки зрения — выбор между ними определяется инженерным суждением, а не алгоритмом. Что отличает IOSO от других методов Инвариантность к типу задачи. IOSO одинаково эффективно работает с гладкими и недифференцируемыми функциями, многоэкстремальными ландшафтами, стохастическими моделями, областями невычислимости и смешанными переменными — дискретными и непрерывными одновременно. гладкие; недифференцируемые; стохастические; многоэкстремальные; с наличием областей невычисляемости; со смешанным типом переменных (дискретные+действительные). Глобальные свойства поиска. В большинстве практических задач алгоритм находит глобальный оптимум, а не застревает в локальном — что критично при проектировании сложных технических систем с нелинейным поведением. Робастность к вычислительным сбоям. Если расчётная модель не может вычислить значение функции в отдельных точках пространства переменных, IOSO продолжает работу корректно — без остановки и без потери качества решения. Масштабируемость. Технология эффективно решает задачи с сотнями переменных и десятками критериев — диапазон, недостижимый для большинства известных методов оптимизации. Параллельные вычисления. Архитектура IOSO позволяет задействовать произвольное число процессоров вне зависимости от размерности задачи. При использовании 20 процессоров реальное ускорение поиска может превышать 40-кратное — за счёт суперлинейного параллелизма алгоритма. Работа в условиях неопределённостей. IOSO решает задачи оптимизации непосредственно в стохастической постановке, оценивая вероятностные критерии на каждой итерации. Это позволяет находить робастные решения — такие, которые сохраняют свои характеристики при производственных разбросах параметров и реально достижимы на практике, а не только в расчётной модели. Многоуровневая оптимизация: скорость без потери точности Для задач, где высокоточная модель требует часов расчётного времени, IOSO предлагает стратегию многоуровневой оптимизации: поиск ведётся преимущественно на быстрых суррогатных моделях, а высокоточный инструмент подключается адаптивно — только для верификации и уточнения в окрестности оптимума. Число обращений к высокоточной модели может быть меньше числа варьируемых переменных — результат, недостижимый при традиционных подходах. На практике это означает ускорение решения на несколько порядков по сравнению с прямой оптимизацией на высокоточной модели. Область применения Технология IOSO успешно применяется в широком спектре отраслей: Авиация и космос — оптимизация лопаточных машин, законов управления силовыми установками, аэродинамических форм; Нефтепереработка и химическая промышленность — проектирование распределителей потока, смесительного оборудования, теплообменников; Атомная энергетика — сейсмостойкое проектирование конструкций АЭС, соответствие нормативным спектрам ускорений; Электроника — оптимизация систем охлаждения процессоров и силовой электроники; Строительство и мостостроение — минимизация металлоёмкости несущих конструкций при соблюдении прочностных норм; Оптика и фотоника — синтез многослойных покрытий с заданными спектральными характеристиками; Автомобилестроение — калибровка двигателей, оптимизация конструкций кузова и подвески. Интеграция с расчётными инструментами IOSO работает как внешний оптимизатор по отношению к любому расчётному коду — через файловый обмен или программный интерфейс. Это означает, что интеграция не требует модификации существующих расчётных моделей: IOSO подключается к уже отлаженному рабочему процессу и берёт на себя управление вариантами. Поддерживается работа с ANSYS, ABAQUS, FLUENT, StarCD, Pro/Engineer и любыми другими коммерческими или внутренними расчётными инструментами. Технология IOSO разработана компанией Sigma Technology и прошла верификацию на обширном наборе тестовых функций и реальных инженерных задач. Алгоритмы уверенно конкурируют с известными высокоэффективными методами оптимизации на классе гладких одноэкстремальных функций и демонстрируют явное преимущество на задачах повышенной сложности.
Многокритериальная оптимизация в системе IOSO
Алгоритмы технологии IOSO позволяют успешно решать задачи многокритериальной (десятки критериев) многомерной (сотни переменных) нелинейной оптимизации. Основные достоинства наших алгоритмов: не используются свёрточные подходы при решении многокритериальных задач; определяется желаемое количество Парето-оптимальных решений, равномерно распределённых в пространстве критериев; возможно решение задач для целевых функций со сложной топологией — невыпуклых, недифференцируемых, многоэкстремальных; естественным образом используется распараллеливание вычислительного процесса. Наши алгоритмы многокритериальной оптимизации являются незаменимым инструментом при решении задач многодисциплинарной и многоуровневой оптимизации, а также для оптимизации в условиях неопределённостей. Постановка задачи Большинство реальных инженерных задач оптимизации требуют одновременной оптимизации более чем одной целевой функции. В таких случаях маловероятно, что различные критерии будут оптимизироваться одним и тем же набором параметров. Следовательно, для обеспечения приемлемого проектного решения необходим компромисс между критериями. Поскольку показатели эффективности системы могут быть различными и взаимно противоречивыми, для оптимизации суммарной эффективности целесообразно применять многокритериальный подход. Математически корректно это можно сделать только при использовании некоторого принципа оптимальности. Мы применяем принцип оптимальности по Парето, суть которого состоит в следующем: решение многокритериальной задачи оптимизации считается Парето-оптимальным, если не существует других решений, которые одновременно лучше удовлетворяют всем критериям. Иными словами, могут существовать решения, превосходящие данное по одному или нескольким критериям, однако они неизбежно уступают Парето-оптимальному решению по остальным критериям. В этом случае задача многокритериальной оптимизации состоит в нахождении полного множества Парето-оптимальных решений. Поскольку в реальных задачах найти полное бесконечное множество Парето-оптимальных решений, как правило, невозможно, инженерная постановка многокритериальной задачи сводится к определению конечного подмножества различимых в пространстве критериев Парето-оптимальных решений. Наш метод Предварительная процедура заключается в формировании начального плана эксперимента (XW). Для каждого вектора переменных вычисляются значения критериев оптимизации и ограничений с использованием математической модели исследуемой системы. Основной алгоритм оптимизации представляет собой следующую последовательность шагов: Шаг 1. Из текущего плана эксперимента извлекаются все различимые Парето-оптимальные точки (подмножество A, число точек n ≥ 1). Шаг 2. Из текущего множества Парето-оптимальных точек (подмножество A) случайным образом выбирается единственная точка x_cur. Шаг 3. Формируется подмножество плана эксперимента XM, состоящее из M точек, ближайших к текущей точке x_cur по линейной метрике. Определяется текущая область поиска. Шаг 4. В текущей области поиска строятся поверхности отклика для каждого из критериев оптимизации. Шаг 5. В текущей области поиска решаются задачи оптимизации с использованием построенных поверхностей отклика. В результате определяется набор точек — кандидатов на экстремумы отдельных критериев в текущей области поиска. Шаг 6. В этих точках вычисляются истинные значения критериев с использованием математической модели системы. План эксперимента обновляется. Шаг 7. Проверяется критерий останова. Шаг 8-а. Переход к Шагу 1. Шаг 8-б. В окрестности текущей Парето-оптимальной точки генерируются дополнительные точки с использованием нормального распределения; они включаются в план эксперимента. Переход к Шагу 1. Принципиально важно отметить, что на начальном этапе оптимизации точность поверхностей отклика может быть невысокой — вследствие малого числа точек в плане эксперимента и относительно большого размера текущей области поиска. Однако по мере продвижения оптимизации число точек в окрестности Парето-оптимальных решений возрастает, а размер текущей области поиска сокращается. Эти тенденции обеспечивают более точную аппроксимацию целевых функций и, как следствие, повышение эффективности оптимизационного процесса. Фактически в ходе оптимизации непрерывно накапливается информация о целевых функциях в окрестности Парето-оптимальных точек. Для повышения эффективности предложенного метода по мере накопления информации разработан ряд эвристических процедур, направленных на адаптивное изменение числа точек в плане эксперимента и в текущей области поиска, корректировку параметра нормального распределения, а также рациональный выбор между шагами 8-а и 8-б основного алгоритма. Основные преимущества метода Главные преимущества предложенного метода косвенной многокритериальной оптимизации по сравнению с традиционными стратегиями математического программирования: Применимость к сложным задачам — возможность решения задач с невыпуклыми, разрывными и стохастическими целевыми функциями и ограничениями; Минимальная адаптация модели — не требуется существенной модификации математической модели для решения оптимизационной задачи; Экономичность — возможность получения множества Парето-оптимальных решений при относительно небольшом числе обращений к математической модели; Глобальность поиска — значительно высокая вероятность нахождения глобального оптимума в многоэкстремальном пространстве проектных переменных. Именно эти преимущества лежат в основе широкого применения предложенного метода при решении реальных практических задач. Тестирование метода В настоящее время единых общепринятых тестов для методов многокритериальной оптимизации не существует. Для оценки эффективности нашего метода было решено большое число оптимизационных задач, в которых в качестве отдельных критериев использовались хорошо известные тестовые функции оптимизации в многокритериальной постановке. При этом было обеспечено условие несовпадения экстремумов отдельных критериев между собой. В качестве показателей эффективности метода использовались: точность нахождения экстремумов отдельных критериев; средняя точность по множеству Парето; равномерность распределения найденных решений в пространстве критериев. Полученные результаты подтвердили высокую эффективность нашего метода при решении задач различных типов. Результаты тестирования
Оптимизация и оптимальное управление в условиях неопределённостей
Введение Практическое применение результатов численной оптимизации осложняется тем, что любая сложная техническая система является стохастической — характеристики такой системы носят вероятностный характер. Важно подчеркнуть: говоря о стохастических свойствах технической системы в контексте задач оптимизации, мы имеем в виду разброс существенных параметров системы, неизбежно возникающий на этапе производства даже при современном уровне технологий. Случайные отклонения параметров системы приводят к случайному изменению её эффективности. Экстремальное значение эффективности, полученное при решении оптимизационной задачи в традиционной детерминированной постановке, представляет собой лишь максимально достижимое значение и может рассматриваться как условный оптимум с точки зрения его практической реализации. Таким образом, можно выделить два принципиально различных типа критериев оптимизации. Первый — идеальная эффективность, достижимая при абсолютно точном практическом воспроизведении заданных параметров рассматриваемой системы. Второй тип критериев носит вероятностный характер: математическое ожидание эффективности, суммарная вероятность выполнения заданных ограничений, дисперсия эффективности и т. д. Очевидно, что экстремум одного из этих критериев не гарантирует высокого уровня другого. Более того, эти критерии могут вступать в противоречие друг с другом. Следовательно, в данном случае мы имеем дело с задачей многокритериальной оптимизации. Наша концепция Наша концепция оптимизации и оптимального управления в условиях неопределённостей позволяет определять оптимальные технические решения, реализуемые на практике с высокой вероятностью, для заданного уровня производственной технологии. Известны подходы, при которых оценка вероятностных критериев эффективности осуществляется либо только на этапе анализа уже полученного детерминированного решения, либо в процессе оптимизации используются сильно упрощённые оценки вероятностных критериев. Отличительная особенность нашей концепции состоит в том, что оптимизация в условиях неопределённостей ведётся непосредственно в стохастической постановке: на каждой итерации поиска решения выполняется оценка вероятностных критериев. Это обеспечивает надёжное определение подлинно робастного оптимального решения. Высокая эффективность решения задачи оптимизации в условиях неопределённостей достигается благодаря возможностям алгоритмов IOSO по работе с задачами стохастической оптимизации при высоких уровнях помех. Применение нашей концепции обеспечивает: значительное снижение затрат и сроков (на несколько порядков) при разработке новых высокоэффективных технических объектов; существенное уменьшение степени риска (в несколько раз) при принятии новых технических решений. Так, при оптимальной калибровке автомобильного двигателя на стенде временные затраты были снижены в 5 раз, а при разработке нового осевого компрессора — более чем в 200 раз. Важнейшей отличительной особенностью технологии IOSO является возможность решения задач оптимизации в условиях неопределённостей с большим числом проектных параметров — сотни переменных — и критериев эффективности — десятки целевых функций. Пример практического применения Многокритериальная оптимизация в условиях неопределённостей при проектировании многоступенчатого осевого компрессора Характеристики задачи: 140 проектных переменных, 2 критерия оптимизации. В результате оптимизации была получена область компромисса, охватывающая следующий диапазон решений: Решение КПД компрессора Вероятность практической реализации №1 ~0,87 ~0,97 (высокая) №4–5 ~0,88 ~средняя №10 ~0,89 ~0,56 (низкая) Интерпретация результатов: Решение №1 может быть реализовано с высокой вероятностью, однако обладает относительно низкой эффективностью. Решение №10 имеет высокую эффективность, но низкую вероятность практической реализации. Решения №4 и №5 демонстрируют весьма близкие значения КПД и вероятности реализации, однако решение №4 предпочтительнее — оно характеризуется меньшим разбросом значений эффективности. Именно это решение следует рекомендовать к практическому внедрению.
Многоуровневая оптимизация в системе IOSO
Наша стратегия многоуровневой оптимизации позволяет максимально сокращать сроки решения оптимизационных задач за счёт одновременного использования совокупности математических моделей различных уровней точности — от самого низкого до максимально возможного — в процессе поиска экстремума с адаптивным переключением между уровнями моделирования. Данная процедура, не снижая точности конечного решения, обеспечивает минимизацию числа обращений к математической модели высокого уровня сложности. Как показывает наш опыт, возможно решение задачи оптимизации, при котором число вычислений целевой функции с использованием высокоточной модели оказывается меньше числа варьируемых переменных. Это позволяет значительно — на несколько порядков — сократить суммарное процессорное время, необходимое для решения сложных оптимизационных задач. Фактически это соответствует случаю, когда при неизменных условиях (точности вычислений, быстродействии компьютера и т. п.) достигается виртуальное ускорение вычислений расчётного кода в десятки раз без каких-либо затрат на его модификацию. Применяя наши подходы, вы можете реально использовать сложные высокоточные математические модели — например, трёхмерные CFD-коды — для решения практических задач многомерной оптимизации как в однокритериальной, так и в многокритериальной постановке. Наша стратегия многоуровневой оптимизации является эффективным инструментом при решении сложных задач оптимизации и оптимального управления в условиях неопределённостей. Процедура многоуровневой оптимизации Типичная ситуация при оптимизации сложной инженерной системы состоит в том, что пользователь располагает несколькими расчётными инструментами различной степени точности. Эти инструменты отличаются как уровнем детализации физических явлений, так и численной точностью результатов. Высокоточные инструменты могут быть представлены подробными нелинейными математическими моделями исследуемых систем или даже экспериментальными образцами таких систем. Однако их использование в оптимизации сопряжено со значительными временными затратами. Низкоточные (суррогатные) модели также могут применяться в процессе поиска, однако достоверность получаемых результатов при этом может оказаться невысокой. Поэтому широкое распространение получили методы, основанные на комбинированном использовании инструментов различной точности. Наша процедура многоуровневой оптимизации базируется на адаптивном применении расчётных инструментов различных уровней сложности с целью минимизации обращений к наиболее трудоёмким из них. Схема работы процедуры многоуровневой оптимизации Упрощённая схема работы процедуры может быть представлена следующим образом: 1. Решение задачи оптимизации с использованием суррогатной модели. Для этого применяется метод косвенной оптимизации на основе самоорганизации (IOSO), позволяющий находить единственное решение в однокритериальной постановке или множество Парето-оптимальных решений в многокритериальной. 2. Уточнение показателей эффективности для полученного решения с использованием высокоточных расчётных инструментов. 3. Корректировка текущей области поиска. 4. Корректировка суррогатной модели. В зависимости от особенностей применяемого математического моделирования процедура корректировки может выполняться несколькими способами. Один из них — построение нелинейных корректирующих зависимостей на основе сравнения результатов, полученных инструментами различной точности. Другой подход — нелинейная оценка внутренних параметров суррогатной модели. 5. Замена суррогатной модели скорректированной и возврат к шагу 1. Информация, накопленная в процессе поиска, используется для улучшения суррогатной модели. По завершении процедуры анализа имеется возможность контролировать вычисленные функции отклика. При этом как скорректированная модель, так и функции отклика являются корректными не для всей начальной области поиска, а лишь для некоторой окрестности найденного оптимального решения. Это обеспечивает целенаправленное улучшение аппроксимирующих свойств именно в области оптимума и заметно снижает вычислительные затраты на решение сложных оптимизационных задач. Примеры практического применения Многоуровневая оптимизация при проектировании многоступенчатого осевого компрессора Параметр Описание Переменные Углы входа и выхода 7 рядов лопаток в 3 сечениях по радиусу (42 переменные) Критерии КПД на двух режимах работы (2 критерия) Ограничения Запасы по помпажу на двух режимах; ограничение по вычислимости критериев Высокоточный метод Квази-трёхмерная модель с учётом вязкостных эффектов Низкоточный метод Двумерная осесимметричная идентифицируемая модель Многоуровневая оптимизация законов управления силовой установкой самолёта STOVL при вертикальном взлёте Параметр Описание Переменные Временны́е законы управления 10 независимыми элементами силовой установки и углом тангажа воздушного судна Критерии Длина разбега при взлёте; расход топлива при взлёте (2 критерия) Ограничения Максимальные частоты вращения роторов и температура газа перед турбиной; минимальные запасы по помпажу компрессоров; безопасность полёта; вычислимость критериев Высокоточный метод Квазистационарная модель силовой установки в системе воздушного судна (самолёт моделируется как материальная точка) Низкоточный метод Та же модель с упрощёнными процедурами численного интегрирования дифференциальных уравнений и расчёта термодинамических процессов силовой установки
Параллельная оптимизация в системе IOSO
Одним из перспективных направлений повышения эффективности оптимизационного процесса является использование многопроцессорных вычислительных систем. В этом случае сокращение реального (астрономического) времени вычислений может быть достигнуто двумя путями: за счёт ускорения расчётов непосредственно «внутри» модели с применением параллельных вычислений, а также за счёт адаптивной организации самого процесса оптимизации под параллельную архитектуру. Первый подход предполагает использование или разработку математических моделей анализа, пригодных для работы на параллельных процессорах. Второй требует разработки или модификации соответствующих методов оптимизации. Нами разработан новый алгоритм оптимизации, использующий параллельные процессоры. Алгоритм позволяет достигать коэффициента ускорения, превышающего суммарное число задействованных процессоров. Например, при использовании 20 процессоров может быть достигнуто ускорение поиска оптимального решения в 40 и более раз. Наши алгоритмы позволяют максимально задействовать имеющиеся вычислительные ресурсы, поскольку число одновременно используемых процессоров не зависит от размерности задачи оптимизации. Так, при 10 варьируемых параметрах возможно использование 1, 20, 100 и более процессоров. Применение наших алгоритмов параллельной оптимизации позволяет формулировать и реально решать задачи, в которых для вычисления одного значения критерия оптимизации требуются часы или даже десятки часов процессорного времени — например, при трёхмерном CFD-моделировании. Объединение наших параллельных процедур с алгоритмами многоуровневой оптимизации существенно расширяет область решаемых сложных практических задач. Схема алгоритма параллельной оптимизации IOSO Главный процессор (Master) выполняет операции основного блока IOSO — блока анализа данных и выработки стратегии движения. В рамках этого блока производится анализ накопленной информации о переменных, ограничениях и критериях оптимизации. Определяется окрестность текущего решения, выявляются перспективные области для дальнейшего поиска и формируется последовательность следующих операций. По завершении каждой итерации возможны три варианта действий: I. Завершение процесса оптимизации. Выполняется при срабатывании критерия останова в автоматическом режиме работы или при принудительном завершении процесса исследователем в интерактивном режиме. II. Генерация плана эксперимента. Формируется набор точек в начальной области поиска (на начальном этапе оптимизации) или в перспективной подобласти пространства поиска. Для каждой точки этого набора подчинённые процессоры (Slave) параллельно вычисляют значения критериев оптимизации и проверяют выполнение ограничений. Полученная информация передаётся обратно в блок анализа данных и выработки стратегии, после чего начинается следующая итерация. III. Основной сценарий работы (наиболее вероятный): а) Синтез функций отклика для критериев оптимизации и ограничений. Функции различаются как по структуре, так и по области поиска. Синтез выполняется с помощью подчинённых процессоров. б) Оптимизация полученных аппроксимирующих функций с использованием подчинённых процессоров. Результатом этого шага является набор точек — кандидатов на решение исходной задачи оптимизации. в) Вычисление истинных значений критериев оптимизации и ограничений для точек-кандидатов с использованием подчинённых процессоров. Полученная информация передаётся обратно в блок анализа данных и выработки стратегии, после чего начинается следующая итерация. Принципиальное отличие разработанного алгоритма параллельной оптимизации от базового алгоритма IOSO состоит в том, что блок анализа данных и выработки стратегии получает информацию не об одной точке, а о целом наборе точек, число которых равно числу подчинённых процессоров. Это обстоятельство может оказывать существенное влияние на эффективность работы алгоритма. Для оценки данного эффекта было проведено тестирование разработанного алгоритма.
